Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un
matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que
es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones
sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de
infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
fue quien
prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del
siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas
como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta
tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo
basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace
estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a
las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar
paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más
tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor.
Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro
"Principios de las matemáticas".
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir
como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no
ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades,
gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de
una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento
pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien
definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El
conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una
persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas
personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según
Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad.
Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin
embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se
preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo
verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría
inconsistente.
La primera propuesta para solucionar el problema de las
paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una
redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al
conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición:
el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta
filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en
cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas.
Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál
decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la
tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de
pensamiento se le llamó intuicionismo.
Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y
aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas
mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la
lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin
encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para
evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran
jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de
Alfred North Whitehead.
La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en
1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos.
La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado
unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy
diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría;
también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la
teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas
que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado
por el matemático alemánGeorg Cantor, GottlobFrege y Julius Wilhelm Richard
Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir
como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no
ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades,
gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de
una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento
pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien
definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El
conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una
persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas
personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según
Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad.
Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin
embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de
objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.
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